Bab II
Sistem Dua Persamaan Linear Dengan Dua Variabel
Pada Bab I telah dinyatakan bahwa program linear adalah cara untuk memecahkan suatu
persoalan yang model matematikanya terdiri dari pertidaksamaan linear. Yang menjadi
pengetahuan prasyarat adalah sistem persamaan linear, baik sistem persamaan linear dua
maupun tiga variabel. Karena itu, paket ini akan dimulai dengan membahas sistem
persamaan linear dua variabel dan akan diikuti dengan membahas sistem persamaan linear
tiga variabel.
Abrahamson dan Gray (1971: 326) menyatakan bahwa masalah berikut telah muncul di
dalam buku karangan Newton, yaitu Aritmetica Universalis (1707). Masalahnya adalah
sebagai berikut:
Tiga macam cairan terbuat dari air, etil-alkohol, dan metil alkohol dalam proporsi
(perbandingan) dalam berat seperti ditunjukkan tabel di bawah ini:
Metil-alkohol
0,15
0,25
0,20
Tentukan perbandingan dari dari cairan I, cairan II, dan cairan III; agar didapat
perbandingan dari air, metil-alkohol, dan etil alkohol dalam perbandingan:
a. 0,60 : 0,20 : 0,20
b. 0,70 : 0,20 : 0,10.
Langkah-langkah apa saja yang dapat Anda gunakan untuk memecahkan soal di atas?
Berapa hasilnya?
Sekarang, jika dimisalkan bahwa Anda diminta untuk menentukan suatu bilangan yang jika
dikalikan 5 akan menghasilkan 10, untuk menentukan bilangan dengan persyaratan tersebut,
Anda dapat menggunakan metode atau cara mencoba-coba sehingga didapat bilangan 2
yang kalau dikalikan dengan 5 akan menghasilkan 10. Untuk menyelesaikan soal atau
masalah seperti di atas, salah cara atau metode lainnya adalah dengan mengandaikan
bahwa penyelesaian dari yang ditanyakan sudah didapat lalu menyesuaikannya dengan yang
diketahui untuk melanjutkan menyelesaikan atau memecahkan masalah tadi. Dengan
demikian, x dianggap atau dimisalkan sebagai jawabannya. Persamaan yang didapat adalah
2x = 10; sehingga x = 5. Bilangan 5 ini disebut penyelesaian dari 2x = 10.
Untuk menyelesaikan persamaan linear 2x + 3y = 5 adalah dengan mencari pasangan
berurutan dari bilangan real x1, y1, sedemikian sehingga 2x1 + 3y1 = 5 disebut atau
merupakan penyelesaian dari persamaan linear 2x + 3y = 5. Dengan demikian, (1,1), (–2,3),
(4,–1) merupakan tiga contoh penyelesaian persamaan 2x + 3y = 5. Jika semesta
pembicaraannya adalah himpunan bilangan real, akan didapat tak hingga banyaknya
pasangan berurutan yang memenuhi persamaan linear 2x + 3y = 5. Himpunan dari seluruh
penyelesaian persamaan tersebut dapat ditunjukkan secara geometris yang diwakili oleh tak
hingga banyaknya titik-titik yang terletak pada suatu garis lurus. Dengan demikian,
persamaan dalam bentuk ax + by = c, dengan a, b, dan c anggota himpunan bilangan real R
(dengan syarat kedua nilai a dan b tidak boleh sama-sama 0), merupakan bentuk umum dari
persamaan linear dengan dua variabel x dan y, sedangkan grafiknya akan berupa garis lurus.
Dua persamaan linear dengan dua variabel x dan y yang saling berkaitan membentuk suatu
sistem dari dua persamaan linear dengan dua variabel. Contohnya adalah:
3x – 2y = 5
5x + 4y = 1
Dua persamaan linear dengan dua variabel x dan y yang saling berkait dan membentuk
suatu sistem dari dua persamaan linear dengan dua variabel di atas adalah model
matematika dari soal seperti: “Tentukan dua bilangan yang jumlahnya 6 dan selisihnya
adalah 2.”
Untuk menyelesaikan soal di atas adalah dengan menentukan seluruh pasangan berurutan
yang memenuhi kedua persamaan linear tersebut. Jika kedua persamaan linear tersebut
digambarkan pada satu sumbu kartesius seperti di bawah ini,
Grafik kedua persamaan tersebut akan berpotongan di titik (4,2) yang merupakan
penyelesaian dari sistem persamaan dengan dua variabel tersebut. Untuk mengecek
kebenaran hasilnya adalah dengan mengganti variabel x dan y pada sistem persamaan
tersebut dengan 4 dan 2 sehingga menghasilkan:
x + y menjadi 4 + 2 = 6 (Kalimat bernilai benar)
x – y menjadi 4 – 2 = 2 (Kalimat bernilai benar)
Langkah terakhir dalam proses pemecahan masalah, yaitu menyesuaikan hasilnya dengan
yang diketahui dan sekaligus mengecek kebenaran hasil ini sering tidak dilakukan para
siswa.
Karena grafik dari persamaan linear dengan dua variabel berupa garis lurus, maka akan
terdapat tiga kemungkinan (tiga kasus) yang akan terjadi pada penyelesaian sistem
persamaan linear dengan dua variabel, yaitu:
Grafik dari kedua persamaan linear tersebut berpotongan di satu titik
seperti contoh di atas. Dengan demikian, hanya ada satu penyelesaian
dan sistem persamaan dengan dua variabel ini disebut sistem yang
konsisten.
Grafik dari kedua persamaan linear tersebut tidak berpotongan karena
kedua garisnya sejajar. Dengan demikian, tidak ada penyelesaian dan
sistem persamaan dengan dua variabel ini disebut sistem yang tidak
konsisten.
Grafik dari kedua persamaan linear tersebut saling berimpit, sehingga
koordinat setiap titik akan memenuhi sistem persamaannya. Dengan
demikian, ada tak terhingga penyelesaian dan sistem persamaan dengan
dua variabel ini disebut sistem yang dependent.
Ada Nol Penyelesaian
Jadi, di saat kita menyelesaikan sistem persamaan dari dua persamaan dengan dua varibel
kita akan mengetahui tiga kemungkinan yang akan terjadi, yaitu sistem tersebut akan
memiliki satu pasangan berurutan sebagai penyelesaiannya, tidak memiliki penyelesaian,
ataupun tak terhingga banyak penyelesaiannya. Perlu diperhatikan juga bahwa
menyelesaikan sistem persamaan dengan grafik membutuhkan penggambaran grafik yang
akurat.
Cara lain untuk menentukan apakah suatu sistem dua persamaan linear dengan dua variabel
termasuk adalah konsisten, tidak konsisten, ataupun dependent (tergantung) tanpa
menggambar lebih lebih dahulu adalah dengan membandingkan koefisien variabel-
variabelnya dan membandingkan juga konstanta-konstantanya. Pada sistem dua persamaan
linear dengan dua variabel:
ax + by = c
px + qx = r
akan memiliki satu penyelesaian jika: a ≠ b (sistem yang konsisten);
p q
tidak akan memiliki penyelesaian jika a = b ≠ c (sistem yang tidak konsisten);
p q r
ataupun memiliki tak hingga penyelesaian jika a = b = c (sistem yang saling bergantung
p q r
atau dependen)
Sesungguhnya, hanya penyelesaian dengan bilangan bulatlah yang agak mudah
diselesaikan dengan cara grafik. Karenanya, penyelesaian sistem persamaan dapat
dilakukan dengan cara substitusi atau eleminasi. Cara lainnya adalah dengan cara matriks
ataupun determinan.
1. Jumlah dua bilangan adalah –42. Jika bilangan kedua dikurangkan dari bilangan pertama,
hasilnya adalah 52. Tentukan kedua bilangan tersebut.
2. Makanan dari kedelai mengandung 16% protein, sedangkan makanan dari jagung hanya
mengandung 9% protein. Berapa gram kedelai dan berapa gram jagung harus dicampur
agar didapat 350 gram campuran dengan kandungan senilai 12% protein?
3. Campuran A mengandung 25% asam dan campuran B mengandung 50% asam. Berapa
liter campuran A dan berapa liter campuran B dibutuhkan untuk mendapatkan 10 liter
campuran dengan kadar 40% asam?
4. Cairan anti beku merek A mengandung 18% alkohol, sedangkan yang merek B
mengandung 10% alkohol. Tentukan banyaknya cairan A dan cairan B yang dibutuhkan
untuk mendapatkan 20 liter cairan yang mengandung 15% alkohol.
5. Pak Amir menginvestasikan uangnya sebesar Rp. 15.000.000,00 . Sebagian dari uang
tsb mendapat bunga tunggal sebesar 9% dan sisanya sebesar 10% selama 1 bulan. Jika
Pak Amir mendapat bunga sebesar Rp. 1.432.000,00 sebulan, tentukan pembagian
investasi Pak Amir tsb!
6. Dua mobil meninggalkan kota A dengan arah berlawanan. Kecepatan mobil pertama
adalah 80 km/jam dan yang satu lagi 96 km/jam. Setelah berapa jam kedua mobil akan
saling berpisah sejauh 528 km?
7. Diketahui Putri berusia lebih tua 12 tahun dari Andi. Empat tahun lagi umur Andi akan
menjadi 2/3 umur Putri. Tentukan umur keduanya sekarang?
8. Ari dan Dina telah berpengalaman mengajar selama 46 tahun. Dua tahun lalu, lama
mengajar Ari adalah 2,5 kali lama mengajar Dina. Berapa tahun kedua guru tsb telah
mengajar?
9. Suatu bilangan asli terdiri atas dua angka. Angka puluhannya adalah dua lebihnya dari
tiga kali angka satuannya. Jika kedua angka pada bilangan tsb dipertukarkan tempatnya,
akan didapat suatu bilangan baru yang 13 kurangnya dari separuh bilangan asal tadi.
Tentukan bilangan yang dimaksud!
10. Besar suatu sudut adalah 8o lebihnya dari tiga kali besar sudut pelurusnya. Tentukan
besar ukuran kedua sudut tsb!
11. Radiator suatu mobil memuat 16 liter cairan yang terdiri atas air dan zat anti beku,
dengan kadar sebesar 30%. Berapa liter cairan yang harus dibuang dan diganti dengan
cairan murni anti beku agar didapat cairan dengan kadar 50% anti beku?
12. Ani ke sekolahnya dengan berjalan kaki dan berlari-lari kecil. Kecepatan rata-ratanya
berjalan kaki adalah 4 km/jam dan berlari-lari kecil adalah 8 km/jam. Pada suatu hari, Ani
menempuh jarak sejauh 6 km dari rumah ke sekolahnya selama 1 jam. Tentukan jarak
yang ditempuh Ani untuk berlari-lari kecil!
13. Penyebut suatu pecahan adalah 12 lebihnya dari pembilangnya. Jumlah pembilang dan
penyebut pecahan tersebut adalah 5 lebihnya dari tiga kali penyebutnya. Tentukan
kebalikan pecahan tersebut!
14. Suatu penerbit mencetak 880 buah buku khusus, harganya Rp. 12.000,00 / buah atau
Rp. 20.000,00 untuk dua buku. Uang yang diterima penerbit dari penjualan buku tersebut
adalah Rp. 9.840.000,00. Ada berapa orang yang membeli langsung 2 buku?
15. Kereta pertama meninggalkan kota A menuju kota B pada pukul 09.00 pagi. Satu jam
berikutnya kereta kedua berangkat dari kota B menuju kota A. Kedua kereta bertemu
pada pukul 12.00 tengah hari. Jika kereta kedua berangkat pada pukul 09.00 pagi dan
kereta pertama berangkat pada pukul 10.30 pagi, kedua kereta akan bertemu pada pukul
12.00 juga. Tentukanlah perbandingan kecepatan dua kereta tersebut.
Bagian III
Sistem Tiga Persamaan Linear Dengan Tiga Variabel
Setelah membahas sistem persamaan linear dua variabel, maka sekarang akan dibahas
sistem persamaan linear tiga variabel. Sekali lagi, hal ini terjadi karena penekanan mata
diklat ini adalah pada peningkatan kompetensi guru dalam pemodelan (modelling) yang
sangat penting dimiliki guru dan siswa dalam memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-
hari.
Perhatikan sekali lagi soal berikut. Abrahamson dan Gray (1971: 326) menyatakan bahwa
masalah tersebut telah muncul di dalam buku karangan Newton, yaitu Aritmetica Universalis
(1707). Masalahnya adalah sebagai berikut:
Tiga macam cairan terbuat dari air, etil-alkohol, dan metil alkohol dalam proporsi
(perbandingan) dalam berat seperti ditunjukkan tabel di bawah ini:
Metil-alkohol
0,15
0,25
0,20
Tentukan perbandingan dari dari cairan I, cairan II, dan cairan III; agar didapat
perbandingan dari air, metil-alkohol, dan etil alkohol dalam perbandingan:
a. 0,60 : 0,20 : 0,20
b. 0,70 : 0,20 : 0,10.
Berdasar soal nomor (a) di atas, nampaklah bahwa untuk membuat 1 kg cairan I dibutuhkan
0,80 kg air, 0,15 metil alkohol, dan 0.05 etil alkohol. Masalah yang dikemukakan Newton di
atas menunjukkan bahwa Newton, yang lebih dikenal dengan ahli Fisika, ternyata merupakan
ahli Matematika juga.
Tidak hanya itu, Newton telah menunjukkan kepada kita, para guru matematika tentang
pentingnya soal atau masalah yang berkait langsung dengan kehidupan nyata sehari-hari,
sehingga dengan cara seperti itu, keabstrakan matematika lalu menjadi menurun kadarnya.
Dengan cara seperti itu pula para siswa diharapkan akan lebih tertarik mempelajari mata
pelajaran matematika karena materi yang mereka pelajari akan dapat digunakan langsung di
dalam kehidupan mereka sehari-hari.
Menurut Abrahamson dan Gray (1971: 326); untuk menyelesaikan soal atau masalah seperti
di atas, salah cara atau metode terbaiknya adalah dengan mengandaikan bahwa
penyelesaian dari yang ditanyakan sudah didapat lalu menyesuaikannya dengan yang
diketahui untuk melanjutkan menyelesaikan atau memecahkan masalah tadi. Dengan
demikian; x, y, dan z berturut-turut merupakan proporsi (dalam ukuran kilogram) dari berat
cairan I, cairan II, dan cairan III; sehingga x + y + z = 1 Setelah itu, campuran cairan tersebut
akan terdiri atas:
(0,80x + 0,50y + 0,30z) = 0,60
(0,15x + 0,25y + 0,20z) = 0,20
(0,05x + 0,25y + 0,50z) = 0,20
Tiga persamaan di atas dapat diselesaikan secara aljabar sehingga didapat z =
3
. Dengan demikian, didapat berat cairan I : cairan II : cairan III = 3 : 3 : 1 agar
7
didapat perbandingan berat dari air, metil-alkohol, dan etil alkohol dalam perbandingan: 0,60 :
0,20 : 0,20.
B. Sistem Persamaan Linear Dengan Tiga Variabel
Suatu perusahaan memproduksi 3 macam produk yang berbeda, yaitu produk R, S, dan
T. Produk tersebut memerlukan jasa dua kelompok pekerja.
Kelompok pertama terdiri dari teknisi-teknisi terlatih dan kelompok lainnya terdiri dari
pekerja-pekerja biasa yang tidak terlalu memerlukan keterampilan khusus.
Produk R memerlukan satu hari kerja dengan tenaga terdiri dari 5 teknisi terampil dan 5
pekerja biasa untuk setiap unit produk yang akan dihasilkan, sedangkan produk S
memerlukan 10 teknisi terampil dan 10 pekerja biasa untuk tiap unit produksi.
Produk T membutuhkan 2 tenaga teknisi dan 4 pekerja untuk tiap unitnya.
Perusahaan tersebut ingin mengetahui berapa banyak unit tiap produknya yang harus
diproduksi setiap harinya agar seluruh karyawan yang terdiri atas 100 teknisi dan 150
pekerjanya terus bekerja.
Jika dimisalkan x1, x2 dan x3 mewakili jumlah unit R, S dan T yang dihasilkan tiap harinya,
maka secara matematis, masalahnya akan menjadi:
5 x1 + 10 x2 + 2 x3 = 100 (I)
5 x1 + 10 x2 + 4 x3 = 150 (II)
Sistem persamaan ini terdiri atas dua persamaan dengan tiga variabel x1, x2, dan x3. Seperti
contoh di atas, peubah tersebut dapat diganti dengan x, y, dan z. Untuk menyelesaikan
sistem persamaan linear dengan tiga variabel, adalah dengan mencari pasangan berurutan
yang terdiri atas tiga bilangan real sedemikian sehingga memenuhi setiap komponen sistem
persamaan tersebut.
Dengan mengurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua (II – I); akan didapat x3 =
25. Hasil ini jika disubstitusikan pada tiap-tiap persamaan yaitu persamaan I ataupun II, akan
didapat persamaan III, yaitu:
5 x1 = 50 – 10 x2, atau:
x1 = 10 – 2 x2.
Karena x1, x2, dan x3 mewakili jumlah produk R, S dan T yang dihasilkan tiap harinya, maka
nilai-nilai tersebut tidak mungkin negatif, sehingga nilai yang mungkin untuk x2 adalah 0, 1, 2,
3, 4, 5. Dengan x3 = 25, jawaban-jawaban yang didapat untuk x1 dan x2 adalah sebagai
berikut.
x1 10 8 6 4 2 0
x2 0 1 2 3 4 5
Untuk memilih antara kemungkinan-kemungkinan tersebut, perusahaan tersebut perlu
menggunakan pertimbangan lain. Dengan demikian, secara matematis; (10, 0, 25),
(8, 1, 25), serta (6, 2, 25) merupakan tiga contoh penyelesaian sistem dua persamaan
dengan tiga variabel di atas.
Sebuah sistem persamaan linear yang memuat lebih banyak persamaan daripada
variabelnya, bisa didapat dari suatu sistem aliran listrik seperti yang ditunjukkan pada gambar
di bawah ini.
5 ohm
I3
20 ohms
Jika I, I2, dan I3 mewakili besarnya aliran listrik yang dinyatakan dalam ampere, maka pada
sistem sirkuit tersebut akan didapatkan empat persamaan dengan tiga variabel berikut:
I1 – I2 – I3 = 0
5I1 + 20 I3 = 50
10 I2 – 20 I3 = 30
5 I1 +10 I2 = 80
Sistem tersebut akan memiliki jawaban yang sesuai dengan setiap komponen
persamaannya, yakni untuk I1 = 6, I2 = 5, dan I3 = 1. Tentu saja, ada banyak bentuk lain yang
dapat diterapkan untuk m buah persamaan linear dengan n buah variabel yang tidak
diketahui.
Contoh berikut akan menjelaskan tafsiran geometris dari sistem tiga persamaan dengan tiga
variabel yang memiliki tepat satu penyelesaian. Pada sistem dengan dua variabel, sistem
persamaan tersebut dapat digambarkan pada bidang kartesius. Kelanjutannya, pada sistem
dengan tiga variabel, sistem persamaan tersebut dapat digambarkan dalam bentuk dimensi
tiga (bangun ruang). Sebagai contoh, perhatikan sistem berikut:
(1) x + y + z = 3
(2)
2y + z = 2
(3)
y + 2z = 2
Jika suatu bidang datar digambarkan sebagai wakil dari setiap persamaan pada sistem
tersebut, maka ketiga gambar akan berpotongan di titik ( 5 , 2 , 2 ). Titik tersebut merupakan
satu-satunya titik yang koordinatnya memenuhi ketiga persamaan linear dengan tiga variabel
di atas.
1. Dua macam besi baja P dan Q dihasilkan oleh suatu pabrik, yang menjual produknya
dalam ukuran ton, tetapi membeli beberapa bahan bakunya dalam unit dengan berat 100
pon setiap unitnya. Untuk tiap ton besi baja P yang dihasilkan, dibutuhkan 4 unit logam A
dan 4 unit logam B. Tiap ton besi baja Q memerlukan 7 unit logam A dan 3 unit logam B.
Jika pabrik tersebut ingin menggunakan tepat 60 unit untuk logam A dan 40 unit untuk
logam B setiap hari, berapa ton masing-masing besi baja dapat dihasilkan setiap harinya.
2. Suatu armada truk memiliki 3 macam truk. Truk tersebut dinomori 1, 2 dan 3. Ketiga truk
akan digunakan untuk mengangkut 3 tipe mesin yang berbeda pada setiap
pengangkutannya, seperti ditunjukkan bagan berikut.
No.1
1
0
2
Berapa truk dari tiap tipe yang harus dikirim untuk mengangkut 12 mesin tipe A, 10 mesin
tipe B dan 16 mesin tipe C? Anggaplah tiap truk bermuatan penuh.
3. Untuk mengontrol hama tanaman tertentu, diputuskan memakai 6 unit bahan kimia A, 10
unit bahan kimia B, dan 8 unit bahan kimia C. Satu barel produk semprot P berisi 1, 3,
dan 4 bahan kimia tersebut secara berurutan. Satu barel Q berisi 3, 3 dan 3 unit bahan
kimia tersebut, dan R berisi 2 unit bahan A dan 5 unit bahan B. Berapa banyak semprotan
untuk tiap jenisnya harus digunakan sedemikian rupa untuk menyebarkan dalam jumlah
yang tepat bahan kimia yang diperlukan untuk mengontrol hama tersebut?
4. Untuk jaringan yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini, hukum Kirchoff berlaku
sehingga didapat sistem sistem persamaan berikut.
I1 – I2 – I3
20I2 – 10I3
40I1 + 20I2
Tentukan nilai aliran listrik I1, I2, I3 .
R2 = 20
R3 = 10
E0
5. Gambarlah bidang x + 2y + 2z = 6, 2x + y + z = 6, dan 3x + 2y + z = 9. Estimasi (duga)
korodinat titik potongnya berdasar grafik yang Anda buat. Kerjakan persamaan-
persamaan tersebut dengan cara biasa. Apa yang Anda dapatkan?
Bab IV
Program Linear
Perhatikan masalah yang berkait dengan program linear berikut:
Dua pabrik memproduksi tiga macam kualitas kertas, yaitu: kualitas rendah, sedang,
dan tinggi. Kontrak dengan perusahaan lain menunjukkan permintaan sebanyak 16 ton,
5 ton, dan 20 ton berturut-turut untuk kertas kualitas rendah, sedang, dan tinggi. Biaya
operasi untuk pabrik pertama adalah Rp 10.000.000,00 per hari dan untuk pabrik kedua
sebesar Rp 20.000.000,00 per hari. Setiap harinya, pabrik pertama memproduksi 8 ton
kertas kualitas rendah, 1 ton kertas kualitas sedang, dan 2 ton kertas kulitas tinggi;
sedangkan pabrik kedua memproduksi 2 ton kertas kualitas rendah, 1 ton kertas kualitas
sedang, dan 7 ton kertas kulitas tinggi setiap harinya. Berapa harikah waktu yang
dibutuhkan oleh setiap pabrik untuk memenuhi kontrak tersebut agar didapatkan biaya
produksi seminimal mungkin?
Penyelesaikan soal di atas adalah dengan program linear. Istilah “program” di sini tidak berkait
dengan istilah “program” pada “program komputer.” Istilah program di sini berarti program atau
pengalokasian banyaknya item atau banyaknya benda-benda yang dibicarakan. Kata atau
istilah linear digunakan untuk menunjukkan atau menerangkan bahwa yang ingin dicapai adalah
optimalisasi dari nilai suatu fungsi linear dengan pembatas-pembatas (constraints) yang berupa
sistem pertidaksamaan linear juga. Sebagaimana penyelesaian masalah sistem persamaan
linear, untuk menyelesaikan soal atau masalah pada program linear, maka salah cara atau
metode terbaiknya adalah dengan mengandaikan bahwa penyelesaian dari yang ditanyakan
sudah didapat lalu menyesuaikannya dengan yang diketahui untuk melanjutkan menyelesaikan
atau memecahkan masalah tadi. Dengan demikian, variabel x, y, maupun z mewakili banyaknya
item-item tersebut. Secara umum, program linear adalah suatu cara untuk mendapatkan
bilangan bukan negatif untuk berbagai variabel atau peubah sedemikian sehingga suatu fungsi
linear tertentu dari berbagai variabel tersebut akan mencapai nilai optimal (nilai maksimum atau
nilai minimum) yang tunduk kepada berberapa pembatas-pembatas tertentu dalam bentuk
linear.
Program linear merupakan bagian matematika yang tergolong baru. Beberapa teori dasar
dihasilkan pada sekitar tahun 1940-an oleh FL Hitchcock, L Kantorovitch (Rusia), TC
Koopmans, dan GB Dantzig. Banyak dari teori-teori tersebut diilhami oleh teori-teori ekonomi
dari J Von Neumann dan W Leontief pada sekitar tahun 1930. Pada 1947, Dantzig yang
merupakan anggota kelompok kerja pada AU AS yang mempelajari pemecahan masalah
pengalokasian item-item, memformulasikan dan mengembangkan metode simplek. Sejak saat
itulah, proram linear mendapatkan perhatian yang luas di berbagai bidang, seperti di bidang
bisnis, nutrisi, teknik, ekonomi, dan pertanian.
Sekali lagi, perhatikan masalah di atas. Sebagaimana disampaikan di atas, salah satu langkah
awal penyelesaian masalah ini adalah dengan mengandaikan bahwa penyelesaian dari yang
ditanyakan sudah didapat lalu menyesuaikannya dengan yang diketahui untuk melanjutkan
menyelesaikan atau memecahkan masalah tadi. Dengan demikian, variabel x dan y berturut-
turut dimisalkan mewakili banyaknya hari yang dibutuhkan oleh pabrik pertama dan kedua untuk
memenuhi kontrak tersebut. Untuk memudahkan pekerjaan, dapatlah disusun suatu tabel dari
pembatas-pembatas yang diketahui, yaitu:
Produksi
Pabrik I
8 ton/hari
1 ton/hari
2 ton/hari
x hari
Rp 10.000.000,00
Jika dimisalkan x adalah banyaknya hari yang digunakan pabrik pertama (I) dan y adalah
banyaknya hari yang digunakan pabrik kedua (II); maka banyaknya kertas berkualitas rendah
(dalam ton) yang dapat dihasilkan adalah:
(8 ton/hari)×( x hari) + (2 ton/hari)×( y hari)
Pabrik I
Jadi, dari pabrik I dan II didapatkan (8x + 2y) ton kertas berkualitas rendah. Karena yang
dibutuhkan adalah 16 ton kertas berkualitas rendah, maka didapatkan pertidaksamaan pertama,
yaitu: (8x + 2y ≤ 16 ). Dengan cara yang sama, akan dapat disusun prtidaksamaan lainnya
sehingga didapat sistem pertidaksaamaan berikut:
(1) 8x + 2y ≥ 16 (paling sedikit ada 16 ton kertas kualitas rendah yang dibutuhkan)
(2) x + y ≥ 5 (paling sedikit ada 5 ton kertas kualitas sedang yang dibutuhkan)
(3) 2x + 7y ≥ 20 (paling sedikit ada 20 ton kertas kualitas tinggi yang dibutuhkan)
(4) x ≥ 0 dan (5) y ≥ 0 (Banyaknya hari tidak boleh negatif)
Kelima pertidaksamaaan tersebut, bersama-sama lalu membentuk suatu sistem pertidaksamaan
linear yang akan menjadi pembatas (the constraints) dalam penentuan nilai pasangan berurutan
yang akan dicari. Total biaya untuk mengoperasikan dua pabrik tersebut adalah:
(Rp 10 juta /hari)×( x hari) + (Rp 20 juta /hari)×( y hari)
Pabrik I
sehingga didapatkan fungsi berikut, yaitu:
10.000.000 x + 20.000.000 y
agar didapat keuntungan maksimal, maka biaya operasi di atas harus ditekan seminimal
mungkin.
Selanjutnya, dari sistem pertidaksamaan ini,
(1) 8x + 2y ≥ 16
(2) x + y ≥ 5
(3) 2x + 7y ≥ 20
(4) x ≥ 0 dan
(5) y ≥ 0
Gambarlah grafiknya, lalu tentukan total biaya minimal untuk mengoperasikan dua pabrik
tersebut, sesuai fungsi berikut:
10.000.000 x + 20.000.000 y
1. Menggambar garis mudah dilaksanakan jika titik potong dengan sumbu x dan sumbu y
merupakan bilangan bulat. Bagaimana caranya jika titik potong bukan merupakan bilangan
bulat.
2. Dua tambang minyak, yaitu Tambang I dan Tambang II menghasilkan tiga tingkat kualitas
minyak-tanah, yaitu kualitas A, B dan C. Pada setiap penambangan, tingkat kualitas minyak-
tanah tersebut diproduksi dalam satu paket proses sehingga jumlahnya tetap dan pasti. Jika
satu proses produksi pada tambang 1 menghasilkan 1 unit minyak-tanah kualitas A, 3 unit B
dan 1 unit C. Satu proses produksi di tambang II menghasilkan 1 unit minyak-tanah kualitas
A, 4 unit B dan 5 unit C. Tambang 1 membutuhkan Rp 3.000.000,00 untuk biaya produksi,
dan tambang 2 membutuhkan Rp 5.000.000,00 untuk biaya produksi selama satu proses.
Seorang konsumen membutuhkan 100 unit minyak-tanah kualitas A, 340 unit B dan 150 unit
C. Bagaimana order tersebut harus dipenuhi jika konsumen menginginkan dengan cara
paling ekonomis?
3. Suatu pabrik mobil memiliki dua mesin, yaitu mesin M1 dan mesin M2 untuk memproduksi
tiga suku cadang mobil, yaitu suku-cadang G1, G2 dan G3. Mesin pertama (M1) akan
menghasilkan setiap macam suku cadang dalam waktu 3 jam. Mesin kedua (M2) akan
menghasilkan 3 G1, dan 1 G3 dalam waktu 4 jam. Pabrik tersebut mendapat pesanan
sebanyak 6 G1, 2 G2, dan 4 G3. Berapa lama waktu yang dibutuhkan setiap mesin untuk
memenuhi order tersebut sehingga dapat meminimumkan waktu produksinya?
4. Suatu perusahaan armada truk memiliki dua jenis truk. Truk jenis A memiliki ruang pendingin
dengan kapasitas 10 meter kubik dan untuk ruang bukan pendingin dengan kapasitas 15
meter kubik. Truk jenis B memiliki kapasitas 10 meter kubik ruang pendingin dan 5 meter
kubik ruang bukan pendingin. Seorang pelanggan ingin mengangkut suatu produknya dalam
jarak tertentu yang akan membutuhkan 80 meter kubik ruang pendingin dan 60 meter kubik
ruang bukan pendingin. Armada tersebut memperhitungkan bahwa dalam perjalanan akan
memerlukan 300 liter solar untuk truk jenis A dan 100 liter solar untuk truk jenis B. Tentukan
jumlah truk untuk tiap-tiap jenisnya agar pekerjaan tersebut mengeluarkan biaya solar
secara minimum.
5. Seorang ahli gizi di suatu lembaga ingin menyajikan makanan yang mengandung vitamin
dan mineral seperti yang dibutuhkan bagi karyawannya. Makanan F1 dan F2 mengandung
sejumlah vitamin dan mineral per kilogramnya sebagai berikut.
4 unit
2 unit
Jika paling sedikit 80 unit vitamin dan 60 unit mineral yang harus disediakan, serta biaya
untuk makanan F1 dan F2 berturut-turut adalah Rp 10.000,00 dan Rp 8.000,00 per
kilogramnya, berapa kilogram tiap makanan yang harus dipesan agar memenuhi kebutuhan
gizi yang diperlukan dan juga mempertimbangkan biaya total minimal yang harus
dibayarkan?
6. Suatu jaringan televisi lokal dihadapkan dengan masalah berikut. Hasil survey menunjukkan
bahwa program A dengan waktu tayang selama 20 menit untuk musik dan 1 menit untuk
iklan telah menarik 30.000 pemirsa, sedangkan program B dengan waktu tayang selama 10
menit untuk musik dan 1 menit untuk iklan telah menghasilkan 10.000 pemirsa. Dalam satu
minggu, pemasang iklan meminta sedikitnya 6 menit diberikan untuk iklannya dan TV
tersebut hanya dapat menyiarkan program musik tidak lebih dari 80 menit. Berapa banyak
waktu tiap minggunya untuk masing-masing program diberikan agar mendapatkan jumlah
maksimum pemirsa?
7. Seorang grosir buah-buahan mengirimkan 800 kardus buah ke kota tetangganya dengan
truk. Jika dia harus mengirimkan sedikitnya 200 kardus jeruk dengan keuntungan Rp
6.000,00 per-kardus, sedikitnya 100 kardus anggur dengan keuntungan Rp 3.000,00 per-
kardus, dan paling banyak 200 kardus apel dengan keuntungan Rp 6.000,00 rupiah per-
kardus, bagaimana cara dia harus mengisi truknya agar mendapatkan keuntungan
maksimal?
9. Seseorang memiliki sejumlah uang. Sepertiga bagian dari uangnya dibelanjakan sesuatu
dan 3 dari sisa uangnya dicopet seseorang. Sisa uangnya sekarang adalah Rp 120.000,00.
Tentukan banyaknya uang orang tersebut pada awalnya.
10. a, b, c, dan d adalah bilangan real sedemikian sehingga a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, dan
ac + bd = 0. Buktikan bahwa ab + cd = 011. Selesaikan sIstem persamaan ini.
⎧ab = c
⎧xy = 1
⎪
⎪
a. ⎨bc = a
b. ⎨yz = 4
⎪ca = b
⎪zx = 9
⎩
⎩
Posting Komentar